Определение степени

Произведением нескольких одинаковых множителей можно записать в виде выражения, которое называют степенью: $$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^5$$ Повторяющийся множитель называется основанием степени, а число повторяющихся множителей — показателем степени.

В выражении $3^5$ основанием степени является $3$, а показатель степени равен $5$.

По определению степени: $$a^1=a, \ \ a^2=aa, \ \ a^3=aaa, \ \ a^4=aaaa$$ $$a^n = \underbrace{aa..a}_{n\text{ раз}}$$ Примеры возведения в степень: $$\begin{align} 6^4 &= 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 1296; \\ 0^2 &= 0; \\ (-2)^3 &= (-2)\cdot(-2)\cdot(-2) = -8 \end{align}$$

Влияние степени на знак

$$\begin{align} (-2)^1 &= -2;\\ (-2)^2 &= (-2) \cdot (-2) = 4;\\ (-2)^3 &= (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8;\\ (-2)^4 &= (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16;\\ \end{align}$$

Приоритет

Возведение в степень является самой приоритетной операцией. Если в выражении нет скобок, то первым выполняется именно действие возведения в степень! Но из этого следует рассмотреть несколько неочевидных фактов:

$$-x^n \ \cancel{=} \ (-x)^n$$ Рассмотрим более конкретные примеры: $-2^6$ и $(-2)^6$. В чём их ключевая разница? Разница в том, что в выражении $-2^6$ основанием степени является $2$, а в выражении $(-2)^6$ основанием степени является $-2$.

Мы знаем, что знак “минус” можно представить в виде умножения числа на $-1$: $$-2^6 = -1 \cdot 2^6$$ Благодаря этому мы чётко видим, что в степень будет возводиться только число $2$, ни как не влияя на знак, потому: $$\begin{align} -2^6 &= -1 \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \end{align}$$ Так как операция возведения в степень имеет боле высокий приоритет, чем умножение, то сначала будут перемножены двойки, и лишь затем произойдёт домножение на $-1$ Потому $-2^6 = -64$

Читатель может задать вопрос: Как же так? В определении выше сказано, что если отрицательное число возводится в чётную степень, то результат должен стать положительным! Но всё дело в том, что в выражении $-2^6$ в степень возводится число $2$, а не $-2$.

А вот с числом $(-2)^6$ всё наоборот! Здесь мы можем следующим образом расписать выражение: $$(-2)^6 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 64$$ Именно в этом случае знак “минус” будет потерян из-за чётной степени.